Estimação pontual: aproximação de parâmetro.
Exemplo: Estimar a nota média em matemática dos candidatos do ENEM na cidade de Salvador.

Estimação intervalar: estimativa intervalar para o parâmetro.
Exemplo: Encontrar \(a\) e \(b\) tal que a nota média de matemática esteja entre \(a\) e \(b\) com alguma confiança.

Teste de hipóteses: decisão entre duas hipóteses complementares.
Exemplo: Decidir entre duas hipóteses \[ \begin{split} &H_0: \mbox{a média em matemática no enem em salvador é no máximo 600}\\ &H_1: \mbox{a média em matemática no enem em salvador é maior que 600}\\ \end{split} \]

Objetivo

• Decidir entre \(H_0\) e \(H_1\) usando apenas a amostra
• \(H_0\) é negação de \(H_1\) e \(H_1\) é negação de \(H_0\) (complementares)
• \(H_0\) é chamada de hipótese nula
• \(H_1\) é chamada de hipótese alternativa

Erros que podemos cometer

• Erro tipo I ou falso positivo: rejeitar \(H_0\) quando \(H_0\) é verdadeira
• Erro tipo II ou falso negativo: não rejeitar \(H_0\) quando \(H_1\) é verdadeira

Uso mais comum

• Verificar se o parâmetro mudou de valor em um novo cenário
• Validar uma hipótese científica (modelo ou teoria)
• Checar especificações (do mercado e/ou regulador)

Roteiro para especificar \(H_0\) e \(H_1\)

• \(H_0\): valor padrão ou comum (do mercado e/ou do regulador)
• \(H_1\): sua hipótese de pesquisa ou pergunta
• Dica prática: igual matemática sempre fica em \(H_0\)

Testes mais usados (e com nomes especiais).

• Teste bilateral: \(H_0: \theta = \theta_0\) contra \(H_1: \theta \neq \theta_0\)
• Teste unilateral superior: \(H_0: \theta \leq \theta_0\) contra \(H_1: \theta > \theta_0\)
• Teste unilateral inferior: \(H_0: \theta \geq \theta_0\) contra \(H_1: \theta < \theta_0\)

Geralmente \(\theta\) é: média da população \((\mu)\), desvio padrão da população \((\sigma)\) e proporção de sucesso na população \((p)\).

• Por convenção, o erro mais grave é falso positivo ou erro tipo I
• Estabelecemos \(H_0\) e \(H_1\) para controlar o falso positivo

Exemplo

Em um julgamento podemos cometer duas hipóteses:

• o réu é culpado
• o réu é inocente

e podemos cometer dois erros:

• o réu é inocente mas o Juiz decide que o réu é culpado (erro mais grave)
• o réu é culpado mas o Juiz decide que o réu é inocente (erro menos grave)

O falso positivo é \(\underbrace{\text{o réu é inocente}}_{H_0}\) mas o Juiz decide que \(\underbrace{\text{o réu é culpado}}_{H_1}\).

• \(H_0\): o réu é inocente
• \(H_1\): o réu é culpado

Sem provas robustas e convincentes, o juiz não rejeita a inocência do réu, ou seja, o juiz não rejeita \(H_0\).

Mas o réu pode ser culpado, você apenas não conseguiu provas e a decisão por \(H_0\) é “mais fraca”.

Em um teste de hipóteses, o pesquisador exerce o papel de Juiz, ou seja, os dados precisam fornecer provas robustas e convicentes para rejeitar \(H_0\) e se os dados não oferecem provas robustas e convincentes não rejeitamos \(H_0\).

• \(\alpha\): Nível de significância, erro \(\alpha\) ou tamanho do teste.
  Geralmente usamos \(\alpha = 5\%\).
• \(\beta\): erro \(\beta\).
• \(1-\beta\): poder do teste de hipóteses.

Quanto maior a amostra, menor o nível de significânccia e maior o poder do teste.

• \(X \sim N(\mu; 1,25^2)\)
• \(H_0: \mu = 5\) e \(H_1: \mu \neq 5\)
• Regra de decisão:
  • se \(4,80 \leq \bar{x} \leq 5,20\), então não rejeitamos \(H_0\)
  • se \(\bar{x} < 4,80\) ou \(\bar{x} > 5,20\), então rejeitamos \(H_0\)

Descrição intuitiva

• Vamos chamar a possibilidade ou plausibilidade ou indicação da hipótese alternativa \((H_1)\) de estatística do teste.

• O valor-p , p-value em inglês, é a probabilidade de coletar uma outra amostra com estatística do teste igual ou mais extrema do que a amostra observada quando \(H_0\) é verdadeira. Lembre que o erro tipo I ou falso positivo é o mais grave.

• Rejeitamos \(H_0\) quando o valor-p é pequeno, e usamos como valor de referência o nível de significância \(\alpha\).

• \(X \sim N(0, 1)\)
• \(H_0: \mu = 0\) contra \(H_1: \mu \neq 0\)
• Algumas vezes decidimos por \(H_0\) e outras vezes decidimos por \(H_1\) usando o valor-p.

Interpretação

Se \(H_0\) for verdade, em \(100 \cdot (1-\alpha)\%\) das amostras vamos decidir por \(H_0\).
Se \(H_1\) for verdade, em \(100 \cdot (1-\beta)\%\) das amostras vamos decidir por \(H_1\).

Se \(H_0\) for verdade, em \(100\cdot \alpha\%\) das amostras vamos errar o falso positivo.
Se \(H_1\) for verdade, em \(100\cdot \beta\%\) das amostras vamos errar o falso negativo.

df_amostras <- read_xlsx("data/raw/dados.xlsx", sheet = "p-valor-motivacao")

df_amostras  |>
  group_by(amostras) |>
  summarise(x1 = x[1], x2 = x[2], x3 = x[3], x4 = x[4], x5 = x[5],
            valor_p = ht_1pop_mean(x)$p_value)  |>
  mutate(Decisao = c("H1", "H1", "H0", "H0"))

## # A tibble: 4 × 8
##   amostras     x1    x2    x3    x4    x5 valor_p Decisao
##   <chr>     <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>   <dbl> <chr>  
## 1 Amostras1 -0.98 -0.29 -0.49 -0.94 -0.59 0.00769 H1     
## 2 Amostras2 -0.36 -0.69 -1.24 -0.61 -1.18 0.00866 H1     
## 3 Amostras3 -2.07  1.02  0.92  0.44  0.85 0.711   H0     
## 4 Amostras4 -0.74  1.11  0.21 -0.4   0.88 0.583   H0

As pessoas são negras são maioria no ENEM na cidade de Salvador?
Decidir usando nível de significânccia \(\alpha=1\%\).

• \(H_0: p \leq 0,5\) contra \(H_1: p < 0,5\)

df_enem <- read_xlsx("data/raw/amostra_enem_salvador.xlsx")
df_enem <- clean_names(df_enem)

df_enem <- df_enem |> mutate(raca = dplyr::recode(tp_cor_raca,
  "Preta" = 1, "Parda" = 1, "Amarela" = 0, "Branca" = 0, "Indígena" = 0,
  "Não declarado" = 0
))

ht_1pop_prop(df_enem$raca, proportion = 0.5, alternative = "greater", sig_level = 0.01)

## # A tibble: 1 × 7
##   statistic p_value critical_value critical_region alternative proportion sig_level
##       <dbl>   <dbl>          <dbl> <chr>           <chr>            <dbl>     <dbl>
## 1      33.7       0           2.33 (2.326, Inf)    greater            0.5      0.01

Ao nível de significância \(1\%\), temos evidência para a proporção de pessoas negras na prova do ENEM.

Lula ganhará no primeiro turno na eleição de 2022?
Usaremos dados da pesquisa realizada pelo PoderData: detalhes da pesquisa.
3500 responderam a pesquisa e 1505 afirmaram que votariam em Lula.

• \(H_1: p > 0,5\) e \(H_0: p \leq 0,5\)
  \(\alpha=5\%\)

ht_1pop_prop(1505, 3500, proportion = 0.5, alternative = "greater", sig_level = 0.05)

## # A tibble: 1 × 7
##   statistic p_value critical_value critical_region alternative proportion sig_level
##       <dbl>   <dbl>          <dbl> <chr>           <chr>            <dbl>     <dbl>
## 1     -8.28       1           1.64 (1.645, Inf)    greater            0.5      0.05