Estimação pontual: aproximação de parâmetro.
Exemplo: Estimar a nota média em matemática dos candidatos do ENEM na cidade de Salvador.

Estimação intervalar: estimativa intervalar para o parâmetro.
Exemplo: Encontrar \(a\) e \(b\) tal que a nota média de matemática esteja entre \(a\) e \(b\) com alguma probabilidade.

Teste de hipóteses: decisão entre duas hipóteses complementares.
Exemplo: Decidir entre duas hipóteses \[ \begin{split} &H_0: \mbox{a média em matemática no enem em salvador é no máximo 600}\\ &H_1: \mbox{a média em matemática no enem em salvador é maior que 600}\\ \end{split} \]

Por que estudar probabilidade?

• Exploração e visualização de dados vale apenas para amostra
• Inferência estatística realiza generalização indução da amostra para população
  • Precisamos de probabilidade para fazer essa generalização

Fenômero aleatório

Experimento (ou procedimento) cujo resultado é impossível de antecipar.
Por exemplo:

• Teremos uma guerra entre China e Estados Unidos da América?
• Quem ganhará a eleição em 2022 no Brasil?
• Qual o resultado de um lançamento de um dados?

Nomenclatura básica

Considere o experimento aleatório que consite no lançamento de um dado.

• Espaço amostral: Conjunto de todos os resulados possíveis de um fenômeno aleatória.
  Exemplo: \(\Omega=\{\mbox{face 1, face 2, face 3, face 4, face 5, face 6} \}\).
• Evento: Subconjunto de um espaço amostral.
  Exemplo: \(A=\{\mbox{face par}\}\).
• Probabilidade: Plausibilidade de um ponto amostra \(\omega\) de \(A\) ser o resultado do fenômeno aleatório.
  Exemplo: \(P(A) = 0,5\).

Variável aleatória é uma função: \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\).

Ideia:

• em \(\Omega\) (e seus subconjuntos) conseguimos calcular probabilidade
• em \(\mathbb{R}\) temos os dados (valores) que coletamos na natureza (na prática)

Classificação de variáveis aleatórias

• Se a imagem de \(X\) (valores possíveis de \(X\)) são números inteiros, temos uma variável aleatória discreta
• Se a imagem de \(X\) (valores possíveis de \(X\)) é um intervalo de valores, temos uma variável aleatória contínua

Uso

• Existem vários modelos (distribuições de probabilidade) de variável aleatória
• Analisamos o problema (com exploração e visualização de dados) e escolhemos a “melhor” distribuição de probabilidade para este problema

• Vamos apresentar várias distribuições de probabilidade
• Para cada distribuição de probabilidade, temos estimação pontual, intervalo de confiança e teste de hipóteses diferentes

Valores possíveis são número s inteiros

Função de probabilidade: \[ f(x) = P(X = x) \]

Suporte
Valores possíveis de \(X\). \[ \chi = \{x_1, \cdots, x_n\}. \]

Probabilidade de sucesso é \(0,3\).

prob_sucesso <- 0.3
amostra <- rbinom(1000, 1, prob_sucesso)
ggplot(tibble(x = amostra)) +
    geom_bar(aes(x), fill = "blue") +
    geom_text(aes(x = x, label = ..count..),
            stat = "count", vjust = 2, colour = "white") +
    theme_gdocs()

Medidas resumo e quartis.

dados <- tibble(x = amostra)
dados |>
    summarise(media = mean(x), dp = sd(x), cv = dp / media,
            q1 = quantile(x, 0.25), q2 = quantile(x, 0.5), q3 = quantile(x, 0.75))

## # A tibble: 1 × 6
##   media    dp    cv    q1    q2    q3
##   <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 0.306 0.461  1.51     0     0     1

\(10\) casos e probabilidade de sucesso \(0,45\).

prob_sucesso <- 0.45
amostra <- rbinom(1000, 10, prob_sucesso)
ggplot(tibble(x = amostra)) +
    geom_bar(aes(x), fill = "blue") +
    geom_text(aes(x = x, label = ..count..),
            stat = "count", vjust = 2, colour = "white") +
    theme_gdocs()

tibble(x = amostra) |>
    summarise(media = mean(x), dp = sd(x), cv = dp / media,
            q1 = quantile(x, 0.25), q2 = quantile(x, 0.5), q3 = quantile(x, 0.75))

## # A tibble: 1 × 6
##   media    dp    cv    q1    q2    q3
##   <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1  4.49  1.60 0.355     3     4     5

Número médio de ocorrência em \(20\) em um intervalo de tempo.

media <- 20
amostra <- rpois(1000, media)
ggplot(tibble(x = amostra)) +
    geom_bar(aes(x), fill = "blue") +
    geom_text(aes(x = x, label = ..count..),
            stat = "count", vjust = 2, colour = "white") +
    theme_gdocs()

tibble(x = amostra) |>
    summarise(media = mean(x), dp = sd(x), cv = dp / media,
            q1 = quantile(x, 0.25), q2 = quantile(x, 0.5), q3 = quantile(x, 0.75))

## # A tibble: 1 × 6
##   media    dp    cv    q1    q2    q3
##   <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1  20.0  4.62 0.231    17    20    23

Valores possíveis estão dentro de um intervalo (pode ser fracionado)

Função densidade de probabilidade: \(f(x)\) para \(x \in \chi\).

Como calcular a probabilidade?

\[ P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(u) du. \]

Tempo médio até a ocorrência é 8000 horas.

media <- 8000
k <- ceiling(1 + log2(1000))
taxa_decaimento <- 1 / media
amostra <- rexp(1000, taxa_decaimento)
ggplot(tibble(tempo = amostra)) +
    geom_histogram(aes(tempo, y = ..density..), fill = "blue", bins = k) +
    theme_gdocs()

Função densidade de probabilidade

• Média: 20
• Desvio padrão: 3

media <- 20
dp <- 3
k <- ceiling(1 + log2(1000))
amostra <- rnorm(1000, mean = media, sd = dp)
ggplot(tibble(x = amostra)) +
    geom_histogram(aes(x = x, y = ..density..), bins = k, fill = "blue") +
    theme_gdocs()

tibble(x = amostra) |>
    summarise(media = mean(x), dp = sd(x), dv = dp / media,
            q1 = quantile(x, 0.25), q2 = quantile(x, 0.5), q3 = quantile(x, 0.75))

## # A tibble: 1 × 6
##   media    dp    dv    q1    q2    q3
##   <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1  20.0  3.03 0.151  18.0  20.0  22.1